Matematika Kelas 10 | Mempelajari Konsep Dasar Vektor

Artikel ini menjelaskan tentang konsep dasar vektor, meliputi pengertian vektor, vektor pada bidang, dan vektor dalam ruang.

--

Di zaman yang serba digital ini, teknologi sudah semakin canggih. Banyak orang bisa menerima informasi dan belajar apa saja hanya dari gadget. Misalnya, kamu ingin mengetahui informasi mengenai petunjuk/arah jalan suatu tempat yang belum pernah kamu kunjungi. Kamu bisa gunakan sistem navigasi, yaitu GPS (Global Positioning System) dari HP-mu. Nah, GPS ini yang nantinya akan menentukan letak lokasi yang ingin kamu tuju dengan bantuan sinyal satelit. Dalam waktu singkat, kamu sudah bisa deh menemukan arah lokasinya dengan tepat. Wah, keren banget nggak, sih?

Hmm, ngomong-ngomong masalah GPS, kamu tahu nggak nih, ada ilmu Matematika yang diterapkan dalam penentuan lokasi pada GPS, yaitu vektor. Kamu pasti sudah nggak asing lagi kan dengan istilah vektor. Yup! Di Fisika, kamu juga belajar materi vektor. Sebenarnya, pembahasan vektor di Matematika maupun Fisika tidak jauh berbeda, nih. Nah, kali ini, kita akan membahas tentang konsep dasar vektor, meliputi pengertian, vektor pada bidang dua dimensi, dan vektor dalam bidang tiga dimensi.

Ada yang masih ingat, vektor itu apa? Betul, vektor adalah suatu besaran. Dalam Fisika, kita mengenal dua jenis besaran, yaitu besaran skalar dan vektor. Bedanya, besaran skalar hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor memiliki nilai dan juga arah. Contoh besaran vektor, antara lain perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet, dan masih banyak lagi. Coba deh kamu perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

Ratu berjalan dari arah barat ke timur (titik AB) sejauh 10 m. Lalu, ia berbalik arah menuju barat lagi (titik BA) sejauh 10 m. Dari sini, kita bisa tahu kalau jarak yang ditempuh Ratu adalah AB + BA = 10 m + 10 m = 20 m. Kemudian, kita lihat besar perpindahannya. Perpindahan dapat diukur dari posisi awal ke posisi akhir. Saat Ratu berbalik arah dan berjalan sejauh 10 m, posisi akhir Ratu ada di titik awal, yaitu titik A. Nah, karena posisi awal Ratu sama dengan posisi akhirnya. Maka, Ratu tidak mengalami perpindahan (perpindahannya nol).

Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh suatu benda yang bergerak. Jadi, meskipun Ratu berjalan berbalik arah ke posisi semula, jarak yang ditempuh Ratu tetap jumlah dari titik AB ke titik BA. Oleh karena itu, jarak tidak dipengaruhi arah pergerakan benda. Tandanya apa? Betul, jarak merupakan contoh besaran skalar.

Lain halnya dengan perpindahan. Perpindahan merupakan perubahan kedudukan/posisi suatu benda, sehingga memiliki arah. Ratu yang awalnya berjalan ke timur sejauh 10 m, kemudian berpindah ke arah barat sejauh 10 m juga. Nah, saat Ratu berjalan ke barat, arahnya berlawanan dengan arah semula. Arah yang berlawanan dari arah semula ini akan bernilai negatif. Oleh karena itu, perpindahannya adalah AB - BA = 10 m - 10 m = 0 m. Perpindahan memiliki nilai dan arah, sehingga termasuk besaran vektor.

Dari ilustrasi di atas, semoga kamu jadi lebih paham bedanya besaran vektor dengan skalar, ya. Sekarang, kita lanjut ke pembahasan berikutnya, yuk!

Secara geometris, suatu vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Vektor dapat dinotasikan dengan huruf kecil bertanda panah di atasnya (, dst) atau huruf kecil bercetak tebal (a, b, c, dst). Nah, pada gambar di bawah ini, terdapat ruas garis  yang kita misalkan sebagai vektor . Vektor  merupakan vektor yang memiliki pangkal di titik A dan ujung di titik B. Jika kita tulis vektor  dalam bentuk matriks, maka hasilnya akan seperti berikut:

Kamu masih ingat kan kalau vektor merupakan besaran yang punya nilai dan arah. Nilai vektor bergantung pada arah tiap-tiap komponennya. Komponen x akan bernilai positif jika arahnya ke kanan dan bernilai negatif jika arahnya ke kiri. Sementara itu, komponen y akan bernilai positif jika arahnya ke atas dan bernilai negatif jika arahnya ke bawah. Bingung nggak, nih? Simak contoh soal berikut ini, deh.

Misalkan, terdapat sebuah vektor , sebagai berikut.

 

Untuk menentukan nilai vektor , kita bisa lihat pergeseran arahnya. Pertama, untuk mencari nilai komponen x, kita lihat apakah vektor  bergeser ke arah kiri atau kanan. Ternyata, vektor  bergeser sejauh 4 satuan ke kanan, berarti nilai komponen x = 4. Lalu, untuk mencari nilai komponen y, kita lihat pergeseran vektor  ke atas atau ke bawah. Kalau kamu lihat, vektor  bergeser ke atas sejauh 4 satuan, sehingga nilai komponen y = 4. Jadi, diperoleh nilai vektor , yaitu:

 

Paham ya maksudnya? Nah, dalam penerapannya, vektor selalu menempati bidang atau ruang. Kita akan bahas satu persatu secara rinci berikut ini. Let’s go!!!

Vektor pada bidang bisa disebut juga sebagai vektor dua dimensi. Pada vektor dua dimensi, kita akan mengenal yang namanya vektor posisi. Apa itu vektor posisi? Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal di pusat koordinat (0,0) dan berujung di suatu titik (x,y).

Nah, kalau kamu perhatikan gambar di bawah, terdapat dua buah ruas garis, yaitu dan . Kita misalkan ruas garis sebagai vektor  dan ruas garis sebagai vektor . Vektor  termasuk vektor posisi karena memiliki pangkal di pusat koordinat O(0,0) dan ujung di titik P(4,2). Sama halnya dengan vektor  yang juga merupakan vektor posisi karena berpangkal di titik O(0,0) dan ujung di titik R(2,4).

Paham, ya? Oh iya, titik Q pada koordinat kartesius di atas juga bisa menjadi vektor posisi, jika kamu tarik garis lurus dari pusat koordinat ke titik Q tersebut. Nilai vektor posisi akan sama dengan koordinat titik ujungnya. Jadi, vektor posisi dan vektor posisi.

Nah, sekarang coba kamu perhatikan gambar di atas. Pada koordinat kartesius tersebut, terdapat vektor (ke kiri 10 satuan, ke atas 2 satuan). Misalkan,  =  dan  = , sehingga  dan  merupakan vektor posisi bernilai  dan . Jika kita menghitung nilai  - , maka akan diperoleh:

Artinya, vektor  dapat diperoleh dari vektor posisi titik B dikurangi vektor posisi titik A .

 

Pembahasan:

1. Diketahui: B(-4,1) dan 

Ditanya: Koordinat titik A?

Jawab:

 

Koordinat titik A akan bernilai sama dengan vektor posisi , jadi koordinat titik A adalah (-2,6).

2. Diketahui: P(2,-1), Q(5,3), dan  = PQ.

Ditanya: Koordinat titik R?

Jawab:

 

Ingat, vektor posisi  akan sama nilainya dengan koordinat titik P dan vektor posisi  akan sama nilainya dengan koordinat titik Q, sehingga:

 

Koordinat titik R akan sama nilainya dengan vektor posisi , jadi R(3,4).

Paham ya sampai sini. Selanjutnya, kita akan menentukan panjang vektor pada bidang dua dimensi. Misalkan,  merupakan vektor pada ruas garis . Vektor  dapat dinyatakan dengan . Pada gambar di bawah, OPR membentuk segitiga siku-siku dengan sisi alas x, sisi tegak y, dan sisi miring . Oleh karena itu, panjang vektor  (dinotasikan dengan ||) dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:

Contoh:

Diketahui vektor  dan . Tentukan || dan || !

Pembahasan:

a. || =  satuan panjang.

b. |  | =  satuan panjang.

Sejauh ini aman, ya… Kalau gitu, kita lanjut ke pembahasan berikutnya, yaitu vektor dalam ruang (dimensi tiga).

Agar kamu bisa lebih memahami konsep vektor dalam ruang, coba perhatikan sistem koordinat kartesius dalam dimensi tiga berikut ini.

Vektor dalam ruang atau vektor tiga dimensi merupakan vektor yang memiliki tiga buah sumbu, yaitu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik yang akan menjadi titik pangkal vektor tersebut. Penulisan vektor tiga dimensi dalam bentuk matriks sebenarnya tidak jauh berbeda dengan vektor dua dimensi. Hanya saja, pada vektor tiga dimensi, terdapat tambahan satu komponen, yaitu komponen z.

Misalnya pada gambar di atas, vektor  terdiri dari tiga titik koordinat, yaitu x = 3, y = 4, dan z = 1, sehingga:

 

Panjang vektor dalam ruang juga dapat ditentukan dengan cara yang sama, yaitu:

Contoh:

Diketahui vektor , tentukan || !

Pembahasan:

|| =  satuan panjang.

Baca juga: Cara Mencari Komponen Vektor

Oke, materi mengenai konsep dasar vektor cukup sampai sini, nih. Untuk pembahasan vektor selanjutnya, akan dibahas di lain waktu. Jadi, pantengin terus Blog Ruangguru, ya! Kalau kamu merasa kurang paham dengan materi ini, kamu bisa coba tonton materi ini lewat video belajar beranimasi di ruangbelajar. Para Master Teachers terbaik akan mengajarkan materi vektor dengan cara dan gaya yang asik dan mudah dimengerti. Buruan download aplikasinya dan gabung sekarang juga!